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【小學數學解題思路大全】巧想妙算文字題(二)

2009-04-30  mishoushu
 

6.想平均數

  

  思路一:由“任意三個連續自然數的平均數是中間的數”。設第一個數為“1”,則中間數占

  

  知這三個數是14、15、16。

  

  二、一個數分別為

  

  16-1=15,

  15-1=14 或 16-2=14。

  若先求第一個數,則

  

  思路三:設第三個數為“1”,則第二、三個數,

  

  知是15、16。

  思路四:第一、三個數的比是7∶8,第一個數是2÷(8-7)×7=14。

  若先求第三個數,則

  2÷(8-7)×8=16?!?img src="http://image4.360doc.com/DownloadImg/2009/4/30/77937_3321565_7.JPG">
7.想奇偶數

例1 思考題:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字中,不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號,使所得的結果都等于100。

例如

 

1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100

  你還能想出不同的添法嗎?

  1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8間的“+”,式左為1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即

  1+2+3+4+5+6+78+9

 ?。?5+63=108。

 為使其和等于100,式左必須減去8。加4改為減4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。

 “減去4”可變為“減1、減3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年級小學生沒學過負“-1”,不能介紹。如果式左變為

 12+3+4+5+6+7+89。

?。?2-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。

 要將“+”變為“-”的數和為13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有

 12+3+4+5-6-7+89=100,

 12-3-4+5-6+7+89=100,

  同理得

  12+3-4+5+67+8+9=100,

  1+23-4+56+7+8+9=100,

  1+2+34-5+67-8+9=100,

  123-4-5-6-7+8-9=100,

  123+4-5+67-89=100,

  123-45-67+89=100。

  為了減少計算。應注意:

  (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數間的加號),結果為100呢?

  1、23、5、7、89的和或差是奇數,4、6的和或差是偶數,奇數±偶數=奇數,結果不會是100。

  (2)有一個是四位數,結果也不可能為100。因為1234減去余下數字組成(按順序)的最大數789,再減去余下的56,差大于100。

  例2 求59~199的奇數和。

  由從1開始的連續n個奇數和、等于奇數個數n的平方

  1+3+5+7+……+(2n-1)=n2

  奇數比它對應的序數2倍少1。用n表示任意一個自然數,它對應的奇數為2n-1。

  例如,32對應奇數2×32-1=63。奇數199,從1起的連續奇數中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。

  知1~199的奇數和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇數和為292=841。

  所求為 10000-841=9159。

  或者 59=30×2-1,302=900,

  10000-900+59=9159。

例1 思考題:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字中,不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號,使所得的結果都等于100。
例如

1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100

你還能想出不同的添法嗎?

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8間的“+”,式左為1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即

          1+2+3+4+5+6+78+9

 ?。?5+63=108。
為使其和等于100,式左必須減去8。加4改為減4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。

“減去4”可變為“減1、減3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年級小學生沒學過負數“-1”,不能介紹。如果式左變為

12+3+4+5+6+7+89。

[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。

要將“+”變為“-”的數和為13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有

12+3+4+5-6-7+89=100,

12-3-4+5-6+7+89=100,

同理得

12+3-4+5+67+8+9=100,

1+23-4+56+7+8+9=100,

1+2+34-5+67-8+9=100,

  123-4-5-6-7+8-9=100,

  123+4-5+67-89=100,

  123-45-67+89=100。

  為了減少計算。應注意:

  (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數間的加號),結果為100呢?

  1、23、5、7、89的和或差是奇數,4、6的和或差是偶數,奇數±偶數=奇數,結果不會是100。

  (2)有一個是四位數,結果也不可能為100。因為1234減去余下數字組成(按順序)的最大數789,再減去余下的56,差大于100。

例2 求59~199的奇數和。

  由從1開始的連續n個奇數和、等于奇數個數n的平方

1+3+5+7+……+(2n-1)=n2

奇數比它對應的序數2倍少1。用n表示任意一個自然數,它對應的奇數為2n-1。

例如,32對應奇數2×32-1=63。奇數199,從1起的連續奇數中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。

知1~199的奇數和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇數和為292=841。

所求為 10000-841=9159。

或者 59=30×2-1,302=900,

10000-900+59=9159。

8.約倍數積法

任意兩個自然數的最大公約數與最小公倍數的積,等于這兩個自然數的積。

證明:設M、N(都是自然數)的最大公約數為P,最小公倍數為Q、且M、N不公有的因數各為a、b。

那么 M×N=P×a×P×b。

而 Q=P×a×b,

所以 M×N=P×Q。

例1 甲乙兩數的最大公約數是7,最小公倍數是105。甲數是21,乙數是多少?

 
例2 已知兩個互質數的最小公倍數是155,求這兩個數。

這兩個互質數的積為1×155=155,還可分解為5×31。

所求是1和155,5和31。

例3 兩數的最大公約數是4,最小公倍數是40,大數是數的2.5倍,求各數。

由上述定理和題意知兩數的積,是小數平方的2.5倍。

小數的平方為4×40÷2.5=64。

小數是8。

大數是8×2.5=20。

算理:4×40=8×20=8×(8×2.5)=82×2.5。

9.想 份 數

 

 

 

 

 

  

 

10.巧用分解質因數

  例1 四個比1大的整數的積是144,寫出由這四個數組成的比例式。

  144=24×32

 ?。?22×3)×[(2×3)×2]

 ?。?4×3)×(6×2)

  可組成4∶6=2∶3等八個比例式。

  例2 三個連續自然數的積是4896,求這三個數。

  4896=25×32×17

 ?。?4×17×(2×32)

 ?。?6×17×18

  

  1728=26×33=(22×3)3=123

  385=5×7×11

  

  例4 1992年小學數學奧林匹克試題初賽(C)卷題3:找出1992的所有不同的質因數,它們的和是多少?

  1992=2×2×2×3×83

  2+3+83=88

  例5 甲數比乙數大9,兩數的積是1620,求這兩個數。

  1620=22×34×5

 ?。?32×22)×(32×5)

  甲數是45,乙數是36。

  例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組,每組四個數且積相等,求這兩組數。

  八個數的積等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。

  每組數的積為2×32×52×7×11×132×127。兩組為

  

例7 600有多少個約數?

  600=6×100=2×3×2×2×5×5

 ?。?3×3×52

  只含因數2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的約數分別為:

  2、22、23;

  3;

  5、52;

  2×3、22×3、23×3;

  2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52;

  3×5、3×52;

  2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。

  不含2×3×5的因數的數只有1。

  這八種情況約數的個數為;

  3+1+2+3+6+2+6+1=24。

  不難發現解題規律:把給定數分解質因數,寫成冪指數形式,各指數分別加1后相乘,其積就是所求約數的個數。(3+1)×(1+1)×(2+1)=24。

 

 

 

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